2.3. Классификация и приведение к каноническому виду ДУ с ЧП
второго порядка с двумя независимыми переменными
Рассмотрим ДУ с ЧП второго порядка линейное относительно
старших производных, с двумя независимыми переменными:
, 2 , , , , , ,
xx xy yy x y
a x y u b x y u c x y u F x y u u u
, (2.11)
где
,,a x y
,,b x y
,c x y
– дважды дифференцируемые функции,
причем предполагается, что
,,a x y
,,b x y
,c x y
не обращаются
одновременно в нуль.
Классификация уравнения (2.11) производится по знаку
дискриминанта
2
, , , , .x y b x y a x y c x y
3А1 (Определение – классификация ДУ (2.11)). ДУ (2.11)
принадлежит:
гиперболическому типу, если
2
, , , , 0x y b x y a x y c x y
(примером уравнения гиперболического типа является волновое
уравнение);
параболическому типу, если
2
, , , , 0x y b x y a x y c x y
(примером уравнения параболического типа является уравнение
теплопроводности);
эллиптическому типу, если
2
, , , , 0x y b x y a x y c x y
(примером уравнения эллиптического типа является уравнение Лапласа).
3А+Б2 (Преобразование ДУ с ЧП путем замены переменных).
Рассмотрим невырожденное преобразование
,,xy
,,xy
где
,
– дважды непрерывно дифференцируемые функции – новые
независимые переменные, причем якобиан
,
0
,
xy
D
D x y
xy
в
области D. В новых переменных уравнение (2.11) запишется в виде
2 2 2
22
( ) 2 , , , ,
u u u u u
L u A B C F u
, (2.12)
где
2
2
, 2 ,A A a b c
x x y y
2
2
, 2 ,C C a b c
x x y y
,,B B a b c
x x x y y x y y
2
22
.B AC b ac
x y y x
Отсюда вытекает, что преобразование независимых переменных не
меняет типа уравнений, т. е. тип ДУ является инвариантом
преобразования переменных.
Функции
,xy
и
,xy
можно выбрать так, чтобы
выполнялось только одно из условий:
0, 0AC
; 2)
0, 0AB
;
3)
,0A C B
, что позволяет упростить (записать в каноническом виде)
ДУ с ЧП (2.12).
3А3 (Определение). ДУ с ЧП (2.12) имеет канонический вид, если:
2
()
u
Lu
либо
22
22
()
uu
Lu
для гиперболического типа,
2
2
()
u
Lu
либо
2
2
()
u
Lu
для параболического типа,
22
22
()
uu
Lu
для эллиптического типа.
3А+Б4 (Теорема). Для каждого ДУ (2.11) найдется невырожденное
преобразование
,,xy
,,xy
при котором уравнение (2.11)
преобразуется к каноническому виду этого типа.
Доказательство.
4.1. Гиперболический тип:
2
0b ac
в области D. Будем считать, что
в точке
00
,,xy
в окрестности которой мы приводим уравнение (2.11) к
каноническому виду, либо
0,a
либо
0.c
.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
2
2
2 0.a b c
x x y y
(2.13)
Пусть
0,a
так как
2
0,b ac
то уравнение (2.13) можно записать в
виде
22
0.a b b ac a b b ac
x y x y
Это уравнение распадается на два:
2
0,a b b ac
xy
2
0.a b b ac
xy
(2.14)
Следовательно, решения каждого из уравнений (2.14) будут
решениями уравнения (2.13). Для интегрирования уравнений (2.14)
составим соответствующие им систему обыкновенных дифференциальных
уравнений:
2
dx dy
a
b b ac
,
2
dx dy
a
b b ac
или
2
0,ady b b ac dx
2
0.ady b b ac dx
(2.15)
Уравнения (2.15) можно записать в виде одного уравнения
22
2 0.ady bdxdy cdx
(2.16)
Коэффициенты дифференциальных уравнений (2.15) имеют
непрерывные частные производные до второго порядка, причем
00
, 0.a x y
Поэтому существуют интегралы
1
, const,xy
2
, constxy
(2.17)
уравнений (2.15), где функции в левых частях равенств (2.17) имеют
непрерывные частные производные до второго порядка включительно в
окрестности точки
00
,xy
и являются решениями уравнений (2.14), а,
следовательно, и уравнения (2.13).
Кривые (2.17), описываемые уравнением (2.16), называются
характеристическими кривыми, или просто характеристиками уравнения
(2.11), а уравнение (2.16) – уравнением характеристик ДУ с ЧП (2.11).
Для уравнения гиперболического типа
2
0b ac
интегралы (2.17)
вещественны и различны и, стало быть, существуют два семейства
вещественных характеристик.
Выполним преобразование переменных, положив
1
,,x y x y
и
2
,,x y x y
, где
1
,xy
и
2
,xy
соответственно дважды
непрерывно дифференцируемые решения уравнения (2.16) (или (2.15)).
Эти решения можно выбрать так, чтобы якобиан
12
,
0
,
D
D x y
в некоторой
окрестности точки
00
,.xy
Так как
0,a
то из уравнений (2.15) имеем
11
2
12
22
2
xy
b ac
a y y
xy
.
Выберем теперь функции
1
,,xy
2
,xy
таким образом, чтобы их
частные производные по
y
в рассматриваемой точке были отличны от
нуля. Отсюда в силу
2
0b ac
и уравнений (2.15) следует, что если
якобиан в некоторой точке равен нулю, то в этой точке равны нулю обе
частные производные первого порядка от
1
,xy
или
2
,.xy
Таким
образом, надо строить такие решения уравнений (2.15), у которых обе
частные производные первого порядка одновременно не равны нулю. Для
этого достаточно решить задачу Коши для области
,D
задавая при
0
xx
соответственно значения
1
,xy
и
2
,xy
так, чтобы
1 0 0
,0
y
xy
и
2 0 0
, 0.
y
xy
Функции
1
,xy
и
2
,xy
удовлетворяют уравнению (2.16), в
уравнении (2.12)
0AC
. Коэффициент
0B
всюду в рассматриваемой
области, что следует из
,
0.
,
D
D x y
Разделив на коэффициент
2B
уравнение (2.12), приведем его к виду
1
, , , , ,u F u u u
(2.18)
где (2.18) – второй канонический вид гиперболического уравнения.
Сделав замену переменных по формулам
1
1
,
2
2
в уравнении
(2.18) получим другой вид уравнения
1 1 1 1 1 1
2 1 1
, , , , ,u u F u u u
(2.19)
где (2.19) – первый канонический вид гиперболического уравнения.
4.2.
2
0.b ac
В рассматриваемой области уравнение
(2.11) принадлежит параболическому типу, при этом по-
прежнему предполагается, что коэффициенты
,,abc
уравнения не обращаются одновременно в нуль. Тогда из
условия
2
0b ac
следует, что либо
0,a
либо
0c
в
каждой точке этой области.
Пусть для определенности
0a
в точке
00
,,xy
в окрестности
которой мы будем приводить уравнение (2.11) к каноническому виду.
Тогда оба уравнения (2.14) совпадают и обращаются в уравнение
0.ab
xy
(2.20)
Интегрируя, получим
,.x y C
Функция
,xy
имеет
непрерывные частные производные второго порядка, и ее первые
производные не обращаются в нуль одновременно в некоторой
окрестности точки
00
,.xy
Отметим, что для уравнения параболического
типа имеется одно семейство вещественных характеристик. Сделаем
замену переменных по формулам
,,xy
x
(в случае, когда
0,
y
так
как
10
xy
y
) или
,xy
y
(если
0
x
). Одновременно
частные производные функции
,xy
в нуль не обращаются в силу
свойств характеристической кривой. Тогда в уравнении (2.12)
0, 0,AB
а
0.C
Приходим к уравнению
1
, , , , ,u F u u u
(2.21)
где (2.21) – канонический вид параболического уравнения.
4.3.
2
0.b ac
В рассматриваемой области D уравнение (2.11)
принадлежит эллиптическому типу. Будем считать, что коэффициенты
,,abc
– аналитические функции
x
и
.y
Тогда коэффициенты уравнений
(2.14) – также аналитические функции от
x
и от
,y
и можно утверждать,
что первое уравнение (2.14) имеет комплекснозначное аналитическое
решение
12
, , ,x y x y i x y
в окрестности точки
00
,xy
и
0
xy
в этой окрестности. (Существование такого аналитического
решения следует из теоремы Ковалевской.)
Замена переменных
1
2
,,
,
xy
xy
приводит уравнение к
каноническому виду
1
, , , , ,u u F u u u
(2.22)
где (2.22) – канонический вид эллиптического уравнения.
На этом доказательство теоремы 3А+Б4 завершается.
3Б5 (Замечание). Может оказаться, что в различных частях области
D
уравнение (2.11) принадлежит различным типам. Точки
параболичности уравнения (2.11) характеризуются равенством
2
0.b ac
(2.23)
Предположим, что множество точек области
,D
которое описывается
уравнением (2.23), является простой гладкой кривой
.
Эта кривая
называется линией параболического вырождения. Если кривая
делит
область
D
на две части, в одной из которых уравнение (2.11) принадлежит
эллиптическому типу, а в другой – гиперболическому типу, то в области
D
уравнение (2.11) – смешанного типа.
Например:
1) уравнение Трикоми
22
22
0
uu
y
xy
имеет при
0y
эллиптический
тип, при
0y
– гиперболический тип,
0y
– линия параболичности;
2) уравнение
22
22
0
uu
y
xy
– уравнение смешанного типа в любой
области
,D
содержащей точки оси
;Ox
0y
– линия параболичности,
которая одновременно является характеристикой
(0y
– огибающая
семейства характеристик).
